Matematică 2016

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2016 Proba E. c) Matematică M_mate-info Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinați numărul real x , știind că numerele 7, 3x și x 2 + 2 sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. 5p 2. Determinaţi numărul real m , știind că parabola asociată funcției f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 − 2 x + m este tangentă axei Ox . 4 x −9 5p 3. Rezolvați în mulţimea numerelor reale ecuaţia  1  = 32 x . 2 5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând o submulțime a mulțimii A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} , aceasta să aibă cel mult două elemente. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( −1, 0 ) , B (1, 0 ) și C (1, 4 ) . Determinaţi ecuaţia dreptei care trece prin punctul B şi este paralelă cu mediana din A a triunghiului ABC . 3π 5p 6. Calculaţi lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC în care A = şi BC = 2 . 4 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 x 0 1. Se consideră matricea A ( x ) =  0 1 0  , unde x este număr real. 0 0 2 x   5p a) Arătați că det ( A (10 ) ) = 1024 . 5p b) Determinați numerele reale x , știind că A ( x ) ⋅ A ( 2 x ) = A x + 2 . 2 ( ) 5p c) Știind că A ( n ) = A (1) ⋅ A ( 2 ) ⋅ A ( 3) ⋅… ⋅ A ( 2016 ) , demonstrați că n este număr natural divizibil cu 2017. 2. Se consideră polinomul f = X 3 − 5 X + a , unde a este număr real. 5p a) Arătați că f ( 0 ) = a . 5p b) Determinați numărul real a pentru care x13 + x23 + x33 = 2016 − 4a , unde x1 , x2 și x3 sunt rădăcinile polinomului f . 5p c) Demonstrați că polinomul f are cel mult o rădăcină în mulțimea numerelor întregi. SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1 2 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = e x − x − x − 1. 2 5p a) Arătaţi că f ' ( x ) = e x − x − 1 , x ∈ ℝ . f ' ( x) 5p b) Calculați lim . x →+∞ f ( x ) ( 5p c) Demonstraţi că f 2 3 < f 3 2 . ) ( ) Probă scrisă la matematică M_mate-info Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare 1 ( ) n 2. Pentru fiecare număr natural nenul n , se consideră numărul I n = ∫ 1 − x 2 dx . 0 2 5p a) Arătați că I1 = . 3 5p b) Demonstrați că I n +1 ≤ I n , pentru orice număr natural nenul n . 5p c) Demonstrați că ( 2n + 3) I n +1 = 2 ( n + 1) I n , pentru orice număr natural nenul n . Probă scrisă la matematică M_mate-info Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2