Matematică 2016

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2016 Proba E. c) Matematică M_mate-info Clasa a XII-a Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinați numerele reale a și b , știind că ( a + b )( i + 1) = ( a − b + 1)( i − 1) , unde i 2 = −1 . 5p 2. Determinaţi numerele reale m , pentru care funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 − mx + 1 are valoarea minimă egală cu −3 . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia log3 x = log x 3 . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă ambele cifre pătrate perfecte. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( −1, a ) , B ( 0, −3) și C (1,1) , unde a este număr real. Determinați numărul real a , ştiind că AB + BC = AC . 2 2  π   π  5p 6. Determinaţi a ∈ ( 0, π ) , ştiind că  sin − cos a  +  cos − sin a  = 2 .  7   7  SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  2 1 m   1. Se consideră matricea A ( m ) =  m m 1  , unde m este număr real. 1 m 1   5p a) Calculați det ( A (1) ) . 5p b) Determinați valorile reale ale lui m , pentru care matricea A ( m ) este inversabilă.  2 1 0 5p c) Rezolvați ecuația matriceală X ⋅ A ( 0 ) =   , unde X ∈ M2,3 ( ℝ ) .  −1 3 2  2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x ∗ y = xy − 4 x − 4 y + 20 . 5p a) Arătați că x ∗ y = ( x − 4 )( y − 4 ) + 4 , pentru orice numere reale x și y . 5p b) Calculați 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ … ∗ 2016 . 5p c) Determinaţi numerele naturale a , b și c , ştiind că a < b < c și a ∗ b ∗ c = 66 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1 1. Se consideră funcţia f : ℝ \ {−1,0} → ℝ , f ( x ) = . x ( x + 1) 5p a) Determinaţi ecuaţia asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcţiei f . 5p b) Determinați coordonatele punctului situat pe graficul funcției f , în care tangenta la graficul funcției f este paralelă cu axa absciselor. 5p c) Calculați lim ( f (1) + f ( 2 ) + … + f ( n ) ) . n n→+∞ Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XII-a Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare ln x 2. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = . x 4 1 5p a) Calculaţi ∫ f ( x ) dx . 2 ln x e f ( x) 5p b) Arătaţi că ∫ dx = 1 − 2 . x e 1 e f ( x) 5p c) Demonstrați că lim ∫ dx = 0 . n→+∞ 1 xn Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XII-a Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2