Matematică 2016

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2016 Proba E. c) Matematică M_mate-info Varianta 01 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinaţi al patrulea termen al progresiei aritmetice ( an )n≥1 , știind că a1 = 1 și a2 = 4 . 5p 2. Determinați numărul real a , știind că punctul A (1, a ) aparține graficului funcției f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x2 + 4 . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 9 x −2 = 32− x . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie mai mic sau egal cu 30. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctul A ( 0,3) . Determinaţi ecuaţia dreptei care trece prin punctul A şi are panta egală cu 1. 5p 6. Se consideră triunghiul ABC , cu AB = 10 , AC = 10 și BC = 12 . Arătaţi că sin B = 4 . 5 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  −m 1 1  −mx + y + z = −1    1. Se consideră matricea A ( m ) =  1 −m 1  și sistemul de ecuații  x − my + z = −1 , unde m  1 1 − m   x + y − mz = m   este număr real. 5p a) Arătați că det ( A ( 0 ) ) = 2 . 5p b) Demonstrați că matricea A ( m ) este inversabilă, pentru orice număr real m , m ≠ −1 și m ≠ 2 . 5p c) Pentru m = 2 , determinați soluția ( x0 , y0 , z0 ) a sistemului pentru care x0 + 2 y0 + 3z0 = 9 . 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x ∗ y = −2 xy + 10 x + 10 y − 45 . 5p a) Arătați că x ∗ y = −2 ( x − 5 )( y − 5 ) + 5 , pentru orice numere reale x și y . 5p b) Arătați că 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 4 ∗ 5 ∗ 6 ∗ 7 ∗ 8 ∗ 9 ∗ 10 = 5 . 5p c) Determinaţi numerele naturale m și n , pentru care m ∗ n = 27 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = x 2 − 8ln x . 2 ( x − 2 )( x + 2 ) 5p a) Arătați că f ' ( x ) = , x ∈ ( 0, +∞ ) . x 5p b) Determinați intervalele de monotonie a funcției f . 5p c) Demonstraţi că ecuaţia f ( x ) = 0 are două soluţii reale distincte. 1 2. Se consideră funcţia f : ( 4, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = . x ( x − 4) 10 5p a) Arătați că ∫ ( x − 4 ) f ( x ) dx = ln 2 . 5 5p b) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției g : [5,6] → ℝ , g ( x ) = x f ( x ) .  2 n +1  5p c) Demonstraţi că lim  n ∫ f ( x ) dx  = 1 . n→+∞    n  Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 01 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 1