Matematică 2017

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2017 Proba E. c) Matematică M_mate-info Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Se consideră numărul complex z = 2 + i . Arătați că z + z + zz = 9 , unde z este conjugatul lui z . 5p 2. Determinați numărul real m , știind că punctul A (1, m ) aparține graficului funcției f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x2 + 2x − 3 . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia (1 − log 2 x )( 2 − log 2 x ) = 0 . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor strict mai mică decât cifra unităților. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 3,1) , B ( 3,3) și C ( 0, 2 ) . Determinaţi lungimea medianei din C a triunghiului ABC .  π ( ) ( ) 5p 6. Arătați că 1 + tg 2 x cos 2 x − 1 + ctg 2 x sin 2 x = 0 , pentru orice x ∈  0,  .  2 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  1 1 2   x + y + 2 z = 0    1. Se consideră matricea A ( a ) =  1 2 a  și sistemul de ecuații  x + 2 y + az = 0 , unde a este  −2 −1 3  −2 x − y + 3 z = 0    număr real. 5p a) Arătați că det ( A ( 9 ) ) = 0 . 5p b) Determinați valorile reale ale lui a pentru care sistemul are soluție unică. 5p c) Demonstrați că, dacă sistemul are soluția ( x0 , y0 , z0 ) , cu x0 , y0 și z0 numere reale nenule, atunci − x0 + y0 + z0 = 11( x0 + y0 + z0 ) . 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x y = xy + 7 x + 7 y + 42 . 5p a) Arătați că x y = ( x + 7 )( y + 7 ) − 7 , pentru orice numere reale x și y . 5p b) Determinați numerele reale x , știind că x x = x . 5p c) Determinați numărul real a , știind că 2017 a ( −6 ) = 1 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : (1, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = ln x . 1− x − + , x ∈ (1, +∞ ) . 5p a) Arătaţi că f ' ( x ) = 1 x x ln x x (1 − x ) 2 5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f . 5p c) Demonstrați că x ln x > x − 1 , pentru orice x ∈ (1, +∞ ) . 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = e x + 3 x 2 . 1 ( ) 5p a) Arătați că ∫ f ( x ) − 3 x dx = e − 1 . 2 0 1 7 5p b) Arătaţi că ∫ x f ( x ) dx = . 0 4 5p c) Determinați numărul natural nenul n , pentru care suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei g : ℝ → ℝ , g ( x ) = f ( x ) − e x , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 0 și x = n are aria egală cu n2 − n + 1 . Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 1