Matematică 2017

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2017 Proba E. c) Matematică M_mate-info Clasa a XI-a Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Se consideră numărul complex z = 4 − i . Calculați z ⋅ z − z − z , unde z este conjugatul lui z . 5p 2. Determinați numărul real m , știind că axa Ox este tangentă graficului funcției f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 − ( 2m + 1) x + m2 − m + 2 . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3log x 5 + log5 ( 5 x ) = 5 . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să fie multiplu de 11. 5p 5. Se consideră triunghiul ABC , punctul M mijlocul laturii BC și punctul N mijlocul medianei 3 1 AM . Demonstrați că BN = − AB + AC . 4 4  π 5p 6. Arătați că, dacă ( sin x + 3cos y ) + ( cos x − 3sin y ) = 10 și x, y ∈  0,  , atunci x = y . 2 2  2 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 1 1 1. Se consideră determinantul ∆ ( x, y ) = x + 1 y +1 2 , unde x și y sunt numere reale. x2 + x y2 + y 2 5p a) Arătați că ∆ ( 0, 2 ) = −2 . 5p b) Arătați că ∆ ( x, y ) = ( x − 1)( y − 1)( y − x ) , pentru orice numere reale x și y . 5p c) Demonstrați că numărul ∆ ( m, n ) este divizibil cu 2, pentru orice numere întregi m și n .  a 0 a − 1   2. Se consideră matricea A ( a ) =  0 1 0  , unde a este număr real.  a −1 0 a   5p a) Calculați A ( 0 ) + A ( 2 ) . 5p b) Arătați că A ( a ) A ( b ) = A ( 2ab − a − b + 1) , pentru orice numere reale a și b . 1  3 5  2017  1 5p c) Arătați că A   A   A   ⋅ … ⋅ A   = A  .  2  2  2  2  2 SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 3x 2 + 3x + 1 1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = . x3 ( x + 1) 3 1 1 5p a) Arătați că f ( x ) = − , pentru orice x ∈ ( 0, +∞ ) . x 3 ( x + 1)3 5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f . 5p c) Calculați lim ( f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) + … + f ( n ) ) 2 n3 . n→ + ∞ Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XI-a Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare  x3 + 3 x 2 − x + a , x ≤ 0  2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) =  e4 x − 1 , unde a este număr real.  3x , x>0  e −1 f ( x) 5p a) Calculați lim . x→ − ∞ x3 5p b) Determinați numărul real a pentru care funcţia f este continuă în punctul x = 0 . 5p c) Demonstrați că, dacă a ∈ ( −6, −3) , atunci ecuația f ( x ) = 0 are cel puțin două soluții reale distincte în intervalul ( −3, −1) . Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XI-a Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2