Matematică 2018

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2018 Proba E. c) Matematică M_mate-info Varianta 9 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Arătați că numărul n = 1 − 2 + 2 − 2 este natural. 5p 2. Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 11 − x și g : ℝ → ℝ , g ( x ) = 1 − 11x . Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația f ( x ) ≥ g ( x ) . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3x ⋅ 2 x+1 = 72 . 5p 4. Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma folosind doar cifre impare. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( −3,3) , B (1,3) și C (1,5 ) . Calculați aria triunghiului ABC . 5p 6. Calculați lungimea razei cercului circumscris ∆ABC , ştiind că BC = 4 , B = π și C = π . 3 6 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 x − 2 0    1. Se consideră matricea A ( x ) =  0 1 0  , unde x este număr real.   0 0 e x−2  5p a) Arătați că det ( A ( 2 ) ) = 1 . 5p b) Demonstrați că A ( x ) A ( y ) = A ( x + y − 2 ) , pentru orice numere reale x și y . ( ) 5p c) Determinați numerele reale m pentru care A (1) A ( 2 ) A ( 3) ⋅ … ⋅ A (10 ) = A m + m + 17 . 2 2. Se consideră polinomul f = X 3 − 4 X 2 + 5 X + a , unde a este număr real. 5p a) Arătați că f (1) − f ( −1) = 12 . 5p b) Determinați numărul real a , știind că polinomul f este divizibil cu polinomul X − 2 . 5p c) Determinați numărul real a , știind că toate rădăcinile polinomului f sunt numere întregi. SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1 1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = ln x . x 2 − ln x 5p a) Arătați că f ' ( x ) = , x ∈ ( 0, +∞ ) . 2x x 5p b) Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției f , în care tangenta la graficul funcţiei f este perpendiculară pe axa Oy . 5p c) Demonstrați că 2 3 < 3 2 . 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 4 x − x 2 . 3 5p a) Arătaţi că ∫ f ( x ) dx = 9 . 0 Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 9 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare 2 2− x 1 4 5p b) Arătaţi că ∫ dx = ln . 1 f ( x) 2 3 4 5p c) Pentru fiecare număr natural nenul n , se consideră numărul I n = f n ( x ) dx . Demonstraţi că ∫ 0 I n+1 ≤ 4 I n , pentru orice număr natural nenul n . Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 9 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2