Matematică 2018

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2018 Proba E. c) Matematică M_mate-info Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinați numărul complex z , știind că 2 z − z = 1 − 3i , unde z este conjugatul lui z . 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 − mx + 1 , unde m este număr real. Determinați numerele reale m , știind că vârful parabolei asociate funcției f se află pe axa Ox . lg x 1 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia = . lg ( x + 2 ) 2 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele distincte și impare. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctul A ( −5, 2 ) și dreapta d de ecuație y = x + 1 . Determinaţi ecuația dreptei care trece prin punctul A și este perpendiculară pe dreapta d . π  π  5p 6. Arătați că sin  + x  − cos  − x  = 0 , pentru orice număr real x .  4   4  SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  2m 1 1  2mx + y + z = −1    1. Se consideră matricea M ( m ) =  1 2m 1  și sistemul de ecuații  x + 2my + z = 0 , unde  1 1 2m   x + y + 2mz = 1   m este număr real. 5p a) Arătați că det ( M ( 0 ) ) = 2 . 5p b) Determinați numerele reale m , știind că det ( M ( m ) ) = 0 . 5p c) Pentru m = −1 , demonstrați că, dacă ( a, b, c ) este o soluţie a sistemului, cel mult unul dintre numerele a , b și c este întreg. 3 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x ∗ y = 4 xy + 3x + 3 y + . 2  3  3 3 5p a) Demonstrați că x ∗ y = 4  x +  y +  − , pentru orice numere reale x și y .  4  4 4 1 5p b) Determinaţi numărul real x pentru care x ∗ x ∗ x = − . 2 5p c) Determina ţi numerele reale a , ș tiind c ă f ( ) ( ) = f ( x + y ) , pentru orice numere reale x și x ∗ f y y , unde f : ℝ → ℝ , f ( x ) = ae x − 3 . 4 SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = 8 x 2 − ln x . ( 4 x − 1)( 4 x + 1) , x ∈ 0, +∞ . 5p a) Arătaţi că f ' ( x ) = ( ) x 5p b) Demonstrați că punctul A  ,3  aparține tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 2 3  x = 1 , situat pe graficul funcţiei f . 1  1  1 5p c) Demonstrați că f   < f   < f  . 3  7 2 Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare 2x + 3 2. Se consideră funcţia f : ( −3, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = . x+3 1 5p a) Arătaţi că ∫ ( x + 3) f ( x ) dx = 4 . 0 1 4 5p b) Arătați că ∫ f ( x ) dx = 2 − 3ln . 0 3 1 5p c) Pentru fiecare număr natural n , se consideră numărul I n = ∫ e x ( x + 3) ( f ( x ) ) dx . Demonstrați că n n 0 I n + 2nI n−1 = e ⋅ 5 − 3 , pentru orice număr natural n , n ≥ 1 . n n Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2