Matematică 2018

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2018 Proba E. c) Matematică M_mate-info Varianta 3 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Se consideră numărul complex z = 1 − 2i . Arătați că z − 2 z + 5 = 0 . 2 5p 2. Determinați numerele reale a și b , pentru care graficele funcțiilor f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 2 x + a și g : ℝ → ℝ , g ( x ) = bx + 2 se intersectează în punctul M ( 2,8 ) . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia log3 ( 4 x + 5 ) = 1 + log3 ( x + 3) . 5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele pare. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 2, 2 ) , B ( 4,1) şi C ( 0,8 ) . Determinaţi lungimea segmentului CM , știind că M este simetricul punctului A față de punctul B . π 5p 6. Calculați aria paralelogramului ABCD , știind că AB = 6 , AC = 10 și m ( ∢BAC ) = . 6 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  1 1 1   x+ y+z=2    1. Se consideră matricea M ( a ) =  a + 1 −1 1  și sistemul de ecuații ( a + 1) x − y + z = 0 , unde  1 1 −a   x + y − az = 1   a este număr real. 5p a) Arătați că det ( M ( −1) ) = 0 . 5p b) Determinați numerele reale a pentru care det ( M ( a ) ) = 0 . 5p c) Determinați numerele reale a , știind că sistemul are soluție unică ( x0 , y0 , z0 ) și 2 x0 + y0 z0 = 0 . 1 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x ∗ y = xy − ( x + y) + 20 . 10 1 5p a) Demonstrați că x ∗ y = ( x − 10 )( y − 10 ) + 10 , pentru orice numere reale x și y . 10 101 5p b) Determinați valorile reale ale lui x pentru care x ∗ x ≤ . 10 5p c) Calculați log 2 1 ∗ log 2 2 ∗ log 2 3 ∗ … ∗ log 2 2018 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ( −1, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = 2 x3 − 3 x 2 + 6 x − 6ln ( x + 1) . 6 x3 5p a) Arătaţi că f ' ( x ) = , x ∈ ( −1, +∞ ) . x +1 5p b) Demonstrați că valoarea minimă a funcției f este 0 . f ( x) 5p c) Calculați lim . x →0 x ( 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 + x + 1 e x . ) 1 11 5p a) Arătaţi că ∫ f ( x ) e dx = −x . 0 6 Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 3 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare 5p b) Demonstrați că orice primitivă a funcției f are exact două puncte de inflexiune. t 1 5p c) Arătați că lim t →0 t ∫ f ( x ) dx = 1 . 0 Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 3 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2