Matematică 2019

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2019 Proba E. c) Matematică M_mate-info Varianta 6 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) ( )( ) 5p 1. Arătați că numărul n = 3 − i 2 3 + i 2 este întreg, unde i = −1 . 2 5p 2. Determinați numărul real a , știind că punctul A ( a, 3) aparține graficului funcției f : ℝ → ℝ , f ( x) = 2x + a . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2019 x + 2019− x = 2 . 5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra unităților impară. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 3, − 3) și B ( 2, −2 ) . Determinaţi ecuaţia dreptei d care trece prin A și este perpendiculară pe AB . 5p 6. Arătați că sin ( a − b ) sin ( a + b ) = ( sin a − sin b )( sin a + sin b ) , pentru orice numere reale a și b . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  a 0 −a    1. Se consideră matricea A ( a ) =  0 2 0  , unde a este număr real.  −a 0 a    5p a) Arătați că det ( A ( a ) ) = 0 , pentru orice număr real a . 5p b) Demonstrați că A ( a ) A ( b ) = 2 A ( ab ) , pentru orice numere reale a și b . 5p c) Demonstrați că matricea B = A(log2 3) ⋅ A (log3 4) ⋅ A (log4 5) ⋅… ⋅ A (log15 16) are toate elementele numere întregi. 2. Se consideră polinomul f = X 3 + X 2 + mX + n , unde m și n sunt numere reale. 5p a) Arătați că f ( −1) − 2 f ( 0 ) + f (1) = 2 , pentru orice numere reale m și n . 5p b) Determinaţi numerele reale m și n , știind că polinomul f este divizibil cu polinomul X 2 − 1 . 3 (3 3 ) 5p c) Demonstrați că 3( x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 + x1 x2 x3 ) − x1 + x2 + x3 = 1 , pentru orice numere reale m și n , unde x1 , x2 și x3 sunt rădăcinile polinomului f . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2e − x . 5p a) Arătați că f ' ( x ) = x ( 2 − x ) e − x , x ∈ ℝ . 5p b) Determinaţi intervalele de monotonie a funcţiei f . ( ) 5p c) Demonstrați că, pentru orice a ∈ 0, 4e , ecuația f ( x ) = a are exact trei soluții reale. −2 2. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = x 2 + ln x . 2 5p a) Arătați că ∫ ( f ( x ) − ln x ) dx = 7 . 1 3 Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 6 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare 5p b) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției g : ( 0, +∞ ) → ℝ , g ( x ) = 2 x − x 2 + f ( x ) , axa Ox și dreptele de ecuații x = 1 și x = e are aria egală cu e2 . 1 ∫ x ( f ( x ) − x ) dx = 0 . n 2 5p c) Demonstrați că lim n→+∞ −1 e Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 6 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2