Matematică 2019

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2019 Proba E. c) Matematică M_mate-info Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. (30 de puncte)  3  5p 1. Determinați elementele mulțimii M =  x ∈ ℤ ∈ ℕ .  x + 1  5p 2. Se consideră x1 și x2 soluțiile ecuației x 2 − mx − 1 = 0 , unde m este număr real. Determinați x12 − 1 x22 − 1 numărul real m , știind că + = 2. x1 x2 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2− x − x = 0. { } 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A = log 2 n n ∈ ℕ∗ , n ≤ 20 , acesta să fie număr natural. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele M ( 0, 2 ) și P (1,1) . Determinați ecuația mediatoarei segmentului MP . 5p 6. Se consideră triunghiul ABC cu AB = 5 2 , m ( ∢A ) = 45° şi m ( ∢C ) = 30° . Determinați lungimea laturii BC . SUBIECTUL al II-lea – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. (30 de puncte) 1 2 4  x + 2 y + 4z = 5    1. Se consideră matricea M ( m ) =  −1 m −1 și sistemul de ecuații  − x + my − z = −2 , unde m m 1 3  mx + y + 3z = 4    este număr real. 5p a) Arătați că det ( M ( 0 ) ) = 3 . 5p b) Determinați valorile reale ale lui m pentru care sistemul are soluție unică. 5p c) Pentru m = 1 , determinați soluțiile ( x0 , y0 , z0 ) ale sistemului pentru care 4 y0 = ( x0 + z0 ) . 2 2 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă, cu element neutru, 1 1 9 x ∗ y = xy − ( x + y ) + . 3 2 4 1 3  3 3 5p a) Demonstrați că x ∗ y =  x −  y −  + , pentru orice numere reale x și y . 3 2  2 2 5p b) Determinați numerele reale x pentru care x ∗ x ∗ x = x . 5p c) Demonstrați că nu există niciun număr natural n al cărui simetric în raport cu legea de compoziție „ ∗ ” să fie număr natural. SUBIECTUL al III-lea – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. (30 de puncte) ( 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x − ln x 2 + x + 1 . ) x ( x − 1) 5p a) Arătați că f ' ( x ) = , x∈ℝ . x2 + x + 1 Probă scrisă la matematică M_mate-info Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare 5p b) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției f în care tangenta la graficul funcţiei 1 f este paralelă cu dreapta de ecuație y = − x + 2 . 7 5p c) Demonstra ți c ă pentru fiecare numă r natural nenul n , ecuația f ( x ) + n = 0 are soluție unică. x 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x . e 2 5p a) Arătați că ∫ e f ( x ) dx = 2 . x 0 5p b) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției f , axa Ox și dreptele de ecuații 2 x = −1 și x = 1 are aria egală cu 2 − . e 1 5p c) Pentru fiecare număr natural nenul n , se consideră I n = ∫ x n f ( x ) dx . Demonstrați că 0 1 lim ( n + 2 ) I n = . n→+∞ e Probă scrisă la matematică M_mate-info Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2