Matematică 2019

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2019 Proba E. c) Matematică M_mate-info Clasa a XII-a Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Calculați modulul numărului complex z = ( 2 − i )( 3 + 2i ) − 4 (1 + i ) . 5p 2. Determinați valorile reale ale lui m pentru care x 2 − ( 2m + 1) x + m ( m − 1) ≥ 0 , pentru orice număr real x . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 log 2 x − log x 2 = 1 . 5p 4. Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi A , știind că mulțimea A are exact 16 submulțimi cu cel mult două elemente. 5p 5. Se consideră triunghiul ABC , punctul M mijlocul laturii BC și punctul N mijlocul segmentului AM . Demonstrați că 2 AN + BN + CN = 0 . π 5p 6. Determinaţi x ∈  , π  , știind că 1 + 3cos x = cos 2 x . 2  SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 1 1  x + y + z =1    1. Se consideră matricea A ( a ) =  1 2 a  și sistemul de ecuații  x + 2 y + az = 2 , unde a este 2 a 4 2 x + ay + 4 z = 3    număr real. 5p a) Arătați că det ( A ( a ) ) = a ( 3 − a ) , pentru orice număr real a . 5p b) Pentru a = 0 , demonstrați că sistemul de ecuații este incompatibil. 5p c) Determinați numerele întregi a pentru care sistemul de ecuații are soluție unică ( x0 , y0 , z0 ) și x0 , y0 și z0 sunt numere întregi. 2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă x y = x 2 y 2 + x 2 + y 2 . 5p a) Demonstrați că x y = ( x + 1)( y + 1) − 1 , pentru orice numere reale x și y . 2 2 5p b) Determinați perechile de numere naturale a și b , știind că a b = 1 . 5p c) Demonstrați că pentru orice număr natural n , n ≥ 2 , numărul 1 1 … 1 nu este natural. 1 de n ori SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 + 2 x + 2 − x + 1 . x + 1 − x2 + 2x + 2 5p a) Arătați că f ' ( x ) = , x∈ℝ . x2 + 2x + 2 5p b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre −∞ la graficul funcției f . 5p c) Determinați imaginea funcției f . Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XII-a Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare 2. Se consideră funcţia f : ( −1, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = x ln ( x + 1) . 2 ( 3x − 2 ) f ( x ) dx . 5p a) Calculați ∫ 1 ln ( x + 1) 1 1 5p b) Arătați că ∫ f ( x ) dx = . 0 4 t 1 5p c) Calculați lim 3 ∫ f ( x ) dx . t →0 t 0 Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XII-a Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2