Matematică 2019

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2019 Proba E. c) Matematică M_mate-info Varianta 8 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Se consideră numerele complexe z1 = 3 − i și z2 = 8 − 3i . Arătați că 3z1 − z2 = 1 . 5p 2. Determinați numărul real a pentru care f ( a ) + f ( a + 1) = 35 , unde f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x − 5 . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 ⋅ 4 x − 4 x+1 + 32 = 0 . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice relația n ( n + 1) ≥ 42 . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 8, 4 ) , B ( 0,6 ) și C ( m,5 ) . Determinați numărul real m , știind că AC = CB . 5p 6. Calculați lungimea ipotenuzei BC a triunghiului dreptunghic ABC , ştiind că AB = 6 și aria triunghiului ABC este egală cu 24 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  a +1 0 0    1. Se consideră matricea A ( a ) =  0 1 ln ( a + 1)  , unde a este număr real, a > 0 .  0 0 1    5p a) Arătați că det ( A (1) ) = 2 . 5p b) Demonstrați că A ( a ) A ( b ) = A ( ab + a + b ) , pentru orice numere reale a și b , a > 0 , b > 0 . 5p c) Determinați numărul real a , a > 0 , știind că A ( a ) A ( a ) A ( a ) = A ( 7 ) . 2. Se consideră x1 , x2 , x3 rădăcinile polinomului f = X 3 + mX 2 − mX + 2 , unde m este număr real. 5p a) Determinați numărul real m , știind că f ( −2 ) = 0 . 5p b) Pentru m = 1 , determinați rădăcinile polinomului f . x12 + mx1 x22 + mx2 x32 + mx3 5p c) Se consideră a = + + . Demonstrați că a ∈ [3, +∞ ) , pentru orice număr x2 x3 x1 x3 x1 x2 real m . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) ( 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = e x x 2 + 4 x + 1 . ) 5p a) Arătaţi că f ′ ( x ) = e x ( x + 5 )( x + 1) , x ∈ ℝ . 5p b) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției f , în care tangenta la graficul funcţiei f este paralelă cu axa Ox . 5p c) Determinați valorile reale ale lui a pentru care ecuația f ( x ) = a are exact trei soluții reale. 1 2. Se consideră funcţia f : (1, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = . ln x 5p a) Arătați că orice primitivă a funcției f este strict crescătoare pe intervalul (1, +∞ ) . e2 1 5p b) Calculați ∫ f ( x ) dx . e x 5p c) Determinați numărul real a , a > e , știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției 1 g : (1, +∞ ) → ℝ , g ( x) = , axa Ox și dreptele de ecuații x = e și x = a are aria egală cu 2a . f ( x) Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 8 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 1