Matematică 2021

Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație Examenul naţional de bacalaureat 2021 Proba E. c) Matematică M_mate-info Varianta 4 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Calculați media aritmetică a numerelor reale a = 2021 − 2 și b = 2021 + 2 . 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 − 3 x + 1 . Determinați numărul real m , știind că punctul A (1, m ) aparține graficului funcției f . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia log3 ( x + 3) + log3 ( x − 3) = 2 . 5p 4. Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi, știind că aceasta are exact 16 submulțimi. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele M ( 3,0 ) , N ( 8,3) și P ( 6,3) . Determinaţi coordonatele punctului Q , știind că MN + MP = MQ . π 5p 6. Se consideră triunghiul ascuțitunghic ABC în care sin 2 A ⋅ cos A = sin A . Arătați că A = . 4 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  1 0 0   1. Se consideră matricea A ( a ) =  0 a 0  , unde a ∈ ( 0, +∞ ) .  1 + log a 0 1   2 5p a) Arătați că det ( A (1) ) = 1 . 5p b) Demonstrați că, pentru orice a ∈ ( 0, +∞ ) , matricea A ( a ) este inversabilă. ( 5p c) Demonstrați că, pentru orice a ∈ ( 0, +∞ ) , det A ( a ) + ( A ( a ) ) −1 ) ≥ 8 , unde ( A( a )) este inversa −1 matricei A ( a ) . 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x y = xy − m ( x + y ) + m ( m + 1) , unde m ∈ ( 0, +∞ ) . 5p a) Pentru m = 1 , arătați că 2 2 = 2 . 5p b) Demonstrați că, dacă 2 1 = 5 , atunci 2 5 = 1 . 5p c) Determinaţi numărul real x , știind că mx3 ( ) ( −mx2 ) = m , pentru orice m ∈ ( 0, +∞ ) . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = x 4 − 2 − 4ln x . 5p a) Arătaţi că f ' ( x ) = ( ) 4 x 2 + 1 ( x + 1)( x − 1) , x ∈ ( 0, +∞ ) . x 5p b) Determinați intervalele de monotonie a funcției f . 5p c) Demonstrați că ecuația f ( x ) = 0 are exact două soluții distincte în intervalul ( 0, +∞ ) . Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 4 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație 2x 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 1 + 4 . x +1 1 ( ) 5p a) Arătați că  x + 1 f ( x ) dx = 4 11 5 . 0 5p b) Se consideră F : ℝ → ℝ o primitivă a funcției f . Știind că graficul funcției F are asimptotă oblică spre +∞ , determinați panta acestei asimptote. 5p c) Se consideră funcția G : ℝ → ℝ , primitiva funcției f pentru care G ( 0 ) = 0 . Arătați că 1 1 π 1  xG ( x ) dx = 3 + 8 − 4 ln 2 . 0 Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 4 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2