Matematică 2021

Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație Examenul naţional de bacalaureat 2021 Proba E. c) Matematică M_mate-info Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Arătați că (1 + i )2 − 2 (1 + i ) + 2 = 0 , unde i 2 = −1 . 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x) = x2 + ax − 5 , unde a este număr real. Determinați numărul real a , știind că punctul M (1,2) aparține graficului funcției f . ( ) 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 4 x 2 + 1 = log 4 x + log 4 ( x + 1) . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 2 și cu 5 . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele M ( 3, 4 ) , N ( 0,1) și P ( 3, 0 ) . Determinaţi ecuaţia dreptei d care trece prin punctul P şi este paralelă cu dreapta MN . 1 5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în C . Arătați că tg B = . tg A SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 0 0 a + 2 0 −a      1. Se consideră matricele I 3 =  0 1 0  și A ( a ) =  0 2 0  , unde a este număr real. 0 0 1  3a 0 2 − 3a      5p a) Arătaţi că det ( A ( 0 ) ) = 8 . 5p b) Determinați matricea B ∈ M3 ( ℝ ) , știind că aB = A ( a ) − 2 I 3 , pentru orice număr real a . 5p c) Determinați numărul natural n pentru care det ( A ( n ) ⋅ A ( − n ) ) > 0 . 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x ∗ y = 1 2 (x + y + x − y ). 5p a) Arătați că 2 ∗ 0 = 2 . 5p b) Demonstrați că, dacă a și b sunt numere reale astfel încât a ≤ b , atunci a ∗ b = b . ( ) 5p c) Determinați numerele reale x pentru care ( 2 x ) ∗ x 2 + 1 ∗ ( −2 x ) = 10 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x − x 2 + 3 . x2 + 3 − x 5p a) Arătați că f ′ ( x ) = , x∈ℝ . x2 + 3 5p b) Determinați ecuaţia asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcţiei f . 5p c) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui a pentru care ecuația f ( x ) = a are soluție. x 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = . x + x+3 2 2 ( ) 5p a) Arătaţi că ∫ x + x + 3 f ( x ) dx = 2 . 2 0 Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație 2 9 2x + 1 5p b) Arătați că ∫ g ( x ) dx = ln , unde g : ( 0, +∞ ) → ℝ , g ( x ) = ⋅ f ( x) . 1 5 x 5p c) Se consideră numerele reale a și b , cu 0 ≤ a < b . Pentru fiecare număr natural nenul n , se b consideră numărul I n = ∫ f n ( x ) dx . Demonstraţi că lim I n = 0 . n→+∞ a Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2