Matematică 2021

Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație Examenul naţional de bacalaureat 2021 Proba E. c) Matematică M_mate-info Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Se consideră progresia geometrică ( bn ) cu b2 = 2 și b4 = 4 . Determinaţi b6 . n≥1 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 − 2 x + m , unde m este număr real. Determinați numărul real m pentru care vârful parabolei asociate funcției f este situat pe dreapta y = 3 x . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 4 x − 2 x+1 − 3 = 0 . 5p 4. Determinați numărul de numere naturale de trei cifre care au exact două cifre egale.    5p 5. Segmentele AB și A ' B ' au același mijloc. Demonstrați că AB ' + BA ' = 0 . 5p 6. Demonstrați că, în orice triunghi ABC , are loc relația AB + AC + BC = 2 R ( sin A + sin B + sin C ) , unde R este raza cercului circumscris triunghiului. SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) ax + ( a + 1) y + ( a + 2 ) z = a  a a + 1 a + 2    1. Se consideră sistemul de ecuații  bx + ( b + 1) y + ( b + 2 ) z = b și matricea X (a, b) =  b b + 1 b + 2  ,  y + z =1 0 1 1    unde a și b sunt numere reale. 5p a) Arătați că det ( X ( 0,1) ) = 1 . 5p b) Demonstrați că, pentru orice numere reale distincte a și b , sistemul de ecuații are soluție unică. 5p c) Demonstrați că, dacă ( x0 , y0 , z0 ) este soluție a sistemului de ecuații, atunci y02 − z02 − 2ax0 = 3 , pentru orice număr real a . 2. Pe mulţimea M = 2, +∞ se defineşte legea de compoziţie asociativă x ∗ y = x − 1 3 ( ) + 1 . log y −1 ( ) ( ) 5p a) Arătați că 5 ∗ 10 = 17 . 5p b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „ ∗ ”. 5p c) Determinați x ∈ M pentru care x ∗ x ∗ x = x ∗ x . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = e2 x + x 4 + 2 . e2 x + 2 x3 5p a) Arătați că f ' ( x ) = , x∈ℝ . e2 x + x 4 + 2 5p b) Demonstrați că tangenta la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0 , situat pe graficul funcției f , este paralelă cu dreapta de ecuație x − 3 y = 0 . 5p c) Demonstrați că funcția f are un unic punct de extrem. 1 1 1  2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) =  2 − 2 . 2  x + 1 x + 3  1  1  π 5p a) Arătați că ∫  2 f ( x ) + 2  dx = 4 . 0 x +3 5p b) Demonstrați că orice primitivă F a funcției f este strict crescătoare. Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație b 5p c) Arătați că, pentru orice numere reale a și b , cu a < b , ∫ f ( x ) F 2 ( x ) dx > 0 , pentru orice primitivă a F a funcției f . Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2