Matematică 2021

Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație Examenul naţional de bacalaureat 2021 Proba E. c) Matematică M_mate-info Varianta 7 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Calculați modulul numărului complex z = ( 2 + 3i )( 2 − 3i ) − ( 9 − 3i ) . 5p 2. Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ, f ( x ) = x − 2 și g : ℝ → ℝ, g ( x ) = 5 x + 20 . Calculați ( g f )( 2 ) . 1 5p 3. Rezolvați în mulţimea numerelor reale ecuaţia 4 x−5 = . 16 5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu 8 . 5p 5. Se consideră paralelogramul ABCD cu AB = 4 , BC = 6 și măsura unghiului ABC de 120° . Determinați modulul vectorului AM , unde punctul M este mijlocul segmentului BD . 5p 6. Se consideră triunghiul ABC cu AB = 12 , AC = 16 și BC = 20 . Arătați că r = 2 , unde r este R 5 raza cercului înscris în triunghiul ABC și R este raza cercului circumscris triunghiului ABC . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  a 1 −2   ax + y − 2 z = 2    1. Se consideră matricea A ( a ) =  2 1 3  și sistemul de ecuații  2 x + y + 3z = 1 ,  2a − 1 2 1  ( 2a − 1) x + 2 y + z = a    a unde este număr real. 5p a) Arătaţi că det ( A ( 4 ) ) = 5 . 5p b) Determinați numărul real a pentru care matricea A ( a ) nu este inversabilă. 5p c) Pentru a = 3 , determinați soluțiile ( x0 , y0 , z0 ) ale sistemului de ecuații pentru care z02 = x0 + y0 . 2. Pe mulțimea G = (1, +∞ ) se definește legea de compoziție asociativă x ∗ y = x log3 y . 5p a) Arătați că 4 ∗ 3 = 2 . 5p b) Arătați că e = 9 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” . 5p c) Determinați x ∈ G , știind că este egal cu simetricul lui în raport cu legea de compoziție „ ∗ ”. SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) ( 1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 − 9 x 2 − 4 + 3 .)( ) ( 5p a) Arătați că f ' ( x ) = 2 x 2 x − 13 , x ∈ ℝ . 2 ) sin ( x − 3) 1 5p b) Arătați că lim = . x →3 f ( x) − 3 30 5p c) Determinați valorile reale ale lui m pentru care ecuația f ( x ) = m are exact patru soluții reale . 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 2 x arctg x . 2 f ( x) 5p a) Arătați că ∫ dx = 3 . 1 arctg x Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 7 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație 3 π 5p b) Determinați numărul real nenul a pentru care ∫ f ( x ) dx = − 3. 0 a 1 5p c) Demonstrați că ∫ x f ( x ) dx = 0 . −1 Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 7 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2