Matematică 2025

Ministerul Educației și Cercetării Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare Examenul național de bacalaureat 2025 Proba E. c) Matematică M_tehnologic Varianta 1 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 1 1 1 5p 1. Arătați că + 3 ⋅  −  = 1. 10 2 5 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 6 x − 3 . Determinați numărul real a pentru care f ( 2) = a + f ( 0 ) . 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 52 x = 53− x . 5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea A = {0,1, 2,3, 4,5,6,7,8,9} , acesta să verifice inegalitatea 6n > 25 . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 2,0 ) , B ( 2,1) și C ( 6,4 ) . Determinați numărul real a pentru care BC = a ⋅ AB . 5p 6. Se consideră triunghiul MNP , dreptunghic în M , cu MN = 4 ⋅ MP și MN = 8 . Arătați că aria triunghiului MNP este egală cu 8 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  5 2 5 3  1 0 1. Se consideră matricele A =  , B =  și I 2 =  . 2 1  3 −1  0 1 5p a) Arătați că det A = 1 . 5p b) Determinați numărul real x pentru care 3 A − 5 I 2 = xB . 5p c) Determinați mulțimea numerelor reale x pentru care det ( A ⋅ ( B − A) + xI 2 ) ≤ 2 . 2. Se consideră polinomul f = X 3 − 3 X 2 + X + m , unde m este număr real. 5p a) Pentru m = 1 , arătați că f (1) = 0 . 5p b) Determinați numărul real m pentru care 2 x1 + 2 x2 + 2 x3 = 1 + x1 x2 x3 , unde x1 , x2 și x3 sunt rădăcinile polinomului f . 5p c) Știind că restul împărțirii polinomului f la polinomul X − 2 este −5 , arătați că f este divizibil cu polinomul X 2 + 1 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) x−2 1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = . ex 3− x 5p a) Arătați că f ' ( x ) = , x∈ℝ . ex 5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0 , situat pe graficul funcției f . 5p c) Demonstrați că −e x −1 ≤ x − 2 ≤ e x −3 , pentru orice x ∈ [1, 4] . 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 + 4 x + 8 . 1 5p ( a) Arătați că  f ( x ) − x 2 − 8 dx = 2 . ) 0 8 x 5p b) Arătați că  dx = ln 3 . 0 f ( x) − 4x Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 1 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale Pagina 1 din 2  Ministerul Educației și Cercetării Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare a 1 1 5p c) Determinați a ∈ ( 0, +∞ ) pentru care  dx = . 0 f ( ) x − 4 4 Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 1 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale Pagina 2 din 2