Matematică 2015

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2015 Proba E. c) Matematică M_tehnologic Varianta 5 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 2 5p 1. Arătați că − 3 =1. 3 −1 5p 2. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției f cu axa Oy , unde f : ℝ → ℝ, f ( x ) = 2 x 2 + x + 2015 . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia x + 2 = 2 . 5p 4. După o reducere cu 10% un obiect costă 99 de lei. Calculați prețul obiectului înainte de reducere. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele M ( 2,1) şi N ( 4,1) . Determinați lungimea segmentului MN . 4  π 3 5p 6. Arătați că sin x = , ştiind că x ∈  0,  și cos x = . 5  2  5 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  2 1 1. Se consideră matricea A =  .  2 1 5p a) Arătați că det A = 0 . 5p b) Determinați numărul real x pentru care A ⋅ A = xA . 1 0 5p c) Arătați că det ( A + I 2 ) + det ( A − I 2 ) = 2 , unde I 2 =  0 1  .   2. Se consideră polinomul f = X 3 − 2 X 2 − 2 X + 1 . 5p a) Arătaţi că f (1) = −2 . 5p b) Arătaţi că polinomul f este divizibil cu polinomul X + 1 . 5p c) Determinaţi numărul real a pentru care 1 + 1 + 1 = a ( x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) , unde x1 , x2 și x1 x2 x2 x3 x3 x1 x3 sunt rădăcinile polinomului f . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = x − . 1 x 5p a) Arătați că f ' ( x ) = 1 + 2 , x ∈ ( 0, +∞ ) . 1 x 5p b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcției f . 5p c) Demonstrați că funcția f este concavă pe intervalul ( 0, +∞ ) . 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 + 2 . 1 5p a) Arătați că ∫ ( f ( x ) − 2 ) dx = . 1 0 3 5p b) Determinaţi primitiva F a funcţiei f pentru care F ( 3) = 5 . 5p c) Arătați că suprafaţa delimitată de graficul funcţiei g : ℝ → ℝ , g ( x ) = e ⋅ f ( x ) , axa Ox și dreptele x de ecuații x = 0 și x = 1 , are aria egală cu 3e − 4 . Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 5 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale Pagina 1 din 1