Matematică 2015

Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2015 Proba E. c) Matematică M_tehnologic Model Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Calculați media aritmetică a numerelor a = 2 5 − 5 și b = 2 5 .( ) 5p 2. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 − 4 x + 3 cu axa Ox . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 5 ( 2 x − 1) − log 5 3 = 0 . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să fie multiplu de 3. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 2, 4 ) şi B ( 6, 4 ) . Determinaţi coordonatele mijlocului segmentului AB . 63  π 3 12 5p 6. Arătați că sin ( a + b ) = , știind că a, b ∈  0,  , sin a = și sin b = . 65  2 5 13 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  2 −2  1. Se consideră matricea A =  .  1 −1  5p a) Calculaţi det A . 5p b) Determinaţi numerele reale p pentru care A ⋅ A = pA . 0 b 5p c) Determinaţi matricele B =   , ştiind că det ( A + B ) = 0 , unde b este un număr real. b 0 2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie dată de x  y = − xy + x + y . 5p a) Calculaţi 1  2015 . 5p b) Arătaţi că x  y = − ( x − 1)( y − 1) + 1 , pentru orice numere reale x şi y . 5p c) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3x  5 x = 1 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 3x 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 2 . x +1 5p a) Calculați lim f ( x ) . x →1 3 ( x − 1)( x + 1) 5p b) Arătați că f ' ( x ) = − , x∈ℝ . ( ) 2 x2 + 1 5p c) Determinaţi intervalele de monotonie ale funcţiei f . 2. Se consideră funcţia f : R → ℝ , f ( x ) = x5 + x . 1 5p a) Calculați ∫ x dx . 5 −1 1 ( ) 5p b) Arătaţi că ∫ f ( x ) − x e dx = 1 . 5 x 0 5p c) Determinaţi volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcţiei f ( x) − x g : [1, 2] → ℝ , definită prin g ( x ) = . x3 Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale Pagina 1 din 1