Matematică 2016

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2016 Proba E. c) Matematică M_tehnologic Varianta 9 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte)  3 1 5p 1. Arătați că 1 −  : = 1 .  4 4 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 − 1 . Calculați f ( −1) + f (1) . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 x + 4 = 4 . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} , acesta să fie multiplu de 3. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele O ( 0,0 ) , A ( 0,5 ) şi B ( 5,0 ) . Arătați că triunghiul AOB este isoscel. 5p 6. Calculați aria triunghiului ABC , dreptunghic în A cu AB = 4 și AC = 3 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 2  1 0 1. Se consideră matricele A =   și I 2 =  . 1 1  0 1 5p a) Arătați că det A = −1 . 5p b) Arătați că A ⋅ A − 2 A = I 2 .  −1 x 5p c) Determinați numărul real x , pentru care A ⋅ B = I 2 , unde B =  .  x − 1 −1 2. Se consideră polinomul f = X 3 + 5 X 2 − 4 . 5p a) Arătați că f (1) = 2 . 5p b) Determinaţi câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul X + 1 . x2 + x3 x3 + x1 x1 + x2 5p c) Demonstrați că + + = −3 , unde x1 , x2 și x3 sunt rădăcinile polinomului f . x1 x2 x3 SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 3 x − x . 3 ( 5p a) Arătați că f ' ( x ) = 3 1 − x , x ∈ ℝ . 2 ) ln x 5p b) Arătați că lim = 0. x →+∞ f ( x ) 5p c) Determinaţi ecuația tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x = 1 , situat pe graficul funcției f . 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x3 − x 2 + x − 1 . 1 ( 5p a) Arătați că ∫ f ( x ) + x − x + 1 dx = 0 . 2 ) −1 x 4 x3 x 2 5p b) Arătaţi că funcția F : ℝ → ℝ , F ( x ) = − + − x este o primitivă a funcției f . 4 3 2 5p c) Determinaţi volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcţiei f ( x) g : [1, 2] → ℝ , g ( x ) = 2 . x +1 Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 9 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale Pagina 1 din 1