Matematică 2016

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2016 Proba E. c) Matematică M_tehnologic Varianta 5 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 1 1 1 5p 1. Arătați că  −  : = 1 .  3 4  12 5p 2. Arătați că 4 ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 = 2 , unde x1 și x2 sunt soluțiile ecuației x 2 − 5 x + 6 = 0 . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia x − 1 = 2 . 5p 4. După o ieftinire cu 10% , preţul unui obiect este 90 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de ieftinire. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 5,1) şi B ( 3,1) . Calculați lungimea segmentului AB .  π 4 3 5p 6. Dacă x ∈  0,  și cos x = , arătați că sin x = .  2 5 5 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  2 3  x 1 1. Se consideră matricele A =   și B =   , unde x este număr real.  3 2 1 x 5p a) Arătați că det A = −5 . 5p b) Arătați că A ⋅ B = B ⋅ A , pentru orice număr real x . c) Determinați numărul real x , pentru care A ⋅ A − 3 ( A + B ) = I 2 , unde I 2 =  1 0 5p . 0 1 1 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = xy + x + y . 3 5p a) Arătaţi că 1 ∗ ( −3) = −3 . 1 5p b) Demonstrați că x ∗ y = ( x + 3)( y + 3) − 3 , pentru orice numere reale x și y . 3 1 5p c) Determinați numerele reale nenule x , pentru care x ∗ = −3 . x SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x3 − 3 x . 5p a) Arătați că f ' ( x ) = 3 ( x − 1)( x + 1) , x ∈ ℝ . f ( x ) + 3x 5p b) Arătați că lim =0. x →0 x 5p c) Demonstrați că f ( x ) ≥ −2 , pentru orice x ∈ [ −1, +∞ ) . 2. Se consideră funcţia f : R → ℝ , f ( x ) = x 4 + x + 1 . 1 5p a) Arătaţi că ∫ ( f ( x ) − x − 1) dx = 1 . 0 5 e ( 5p b) Arătaţi că ∫ f ( x ) − x − 1 ln x dx = 4 ) e2 + 1 4 . 1 5p c) Determinaţi aria suprafeţei plane delimitate de graficul funcţiei f , axa Ox și dreptele de ecuaţii x = 0 şi x = 1 . Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 5 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale Pagina 1 din 1