Matematică 2016

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2016 Proba E. c) Matematică M_tehnologic Clasa a XII-a Simulare Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 10 5p 1. Determinați numerele reale a și b , pentru care = a + ib , unde i 2 = −1 . 3+i 5p 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 − 1 . Calculați ( f (1) ) + ( f ( 0)) 2016 2016 . 5p 3. Rezolvați în mulţimea numerelor reale ecuaţia 6 x −3 x +5 = 216 . 2 5p 4. Calculați în câte moduri poate fi aleasă o echipă formată din 5 elevi din totalul de 6 elevi pe care îi are la dispoziţie un antrenor. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 5,0 ) şi B ( 2m + 1,0 ) , unde m este număr real. Determinați numărul real m , știind că punctul C (10,0 ) este mijlocul segmentului AB . 5p 6. Se consideră triunghiul ABC în care AB = 5 , AC = 12 și BC = 13 . Calculați cos C . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  1 2 4 1. Se consideră matricea A =  0 1 3  . 0 0 1   5p a) Calculați det A . 1 0 0 0 0 0 5p b) Arătați că ( A − I3 )( A − I3 )( A − I 3 ) = O3 , unde I 3 =  0 1 0  şi O3 =  0 0 0  . 0 0 1 0 0 0     0  x 5p c) Rezolvați ecuația matriceală AX =  1  , unde X =  y  ∈ M3,1 ( ℝ ) .  2 z     2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă x ∗ y = xy − x − y + 2 . 5p a) Arătaţi că x ∗ y = ( x − 1)( y − 1) + 1 , pentru orice numere reale x şi y . 5p b) Calculaţi 0 ∗ 1 ∗ 2 ∗ 3 . 5p c) Determinaţi numerele reale a , ştiind că a ∗ a ∗ 2016 = 2016 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) x +1 1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = . x f ( x ) − f ( 2) 5p a) Calculați lim . x−2 x →2 5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 1 , situat pe graficul funcției f . 2017 5p c) Demonstraţi că ≤ f ( x ) ≤ 2 , pentru orice x ∈ [1, 2016] . 2016 Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru clasa a XII-a Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x3 − 3 x 2 + 2 . 2 ( 5p a) Calculaţi ∫ f ( x ) + 3x − 2 dx . 2 ) 0 1 3 ( 2 x ) 5p b) Arătaţi că ∫ f ( x ) − x + 3 x + x e dx = 2e − 1 . 0 1+ a 5p c) Demonstrați că ∫ f ( x ) dx = 0 , pentru orice număr real a . 1− a Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru clasa a XII-a Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale Pagina 2 din 2