Matematică 2017

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2017 Proba E. c) Matematică M_pedagogic Model Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte)   1 2  28 5p 1. Arătați că    + 3  : = 1.  3   9   5p 2. Arătați că f (1) − f ( −1) = 4 pentru orice număr real m , unde f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 2 x + m . 2 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 x +3 = 24 x . 5p 4. Prețul unui obiect este 1200 de lei. Determinați prețul obiectului după ce se scumpește de două ori, succesiv, cu câte 5% . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 2, 6 ) și B ( 2,3) . Determinaţi distanţa de la punctul O la punctul C , unde C este simetricul punctului A față de punctul B . 5p 6. Calculaţi aria triunghiului ABC , ştiind că m ( ∢B ) = 45° şi AB = AC = 4 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie x ∗ y = x + y − 2017 . 5p 1. Arătați că 2 000 ∗ 17 = 0 . 5p 2. Arătați că legea de compoziţie „ ∗ ” este asociativă. 5p 3. Demonstrați că a ∗ ( a + 2017 ) = ( a + 1009 ) ∗ ( a + 1008 ) , pentru orice număr real a . 5p 4. Determinaţi numărul real x , știind că 4 x ∗ 2 x = −2011 . 5p 5. Determinați cel mai mare număr natural n , pentru care n ∗ n ≤ n . 2 2 5p 6. Arătați că numărul ∗ este întreg. 3− 5 3+ 5 SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)  1 2 1 0 Se consideră matricele A =   și I 2 =  .  2 2 0 1 5p 1. Calculați det A .  −1 1  5p 2. Demonstrați că inversa matricei A este matricea  .  1 −1  2 5p 3. Arătaţi că A ⋅ A − 3 A = 2 I 2 . 5p 4. Determinaţi numerele reale x , știind că det ( A − xI 2 ) = 2 . 5p 5. Determinaţi numărul real a , știind că A ⋅ A ⋅ A = aA + 6 I 2 .  2 1 5p 6. Determinați numerele reale p și q , pentru care A ⋅ X = X ⋅ A , unde X =  .  p q Probă scrisă la matematică M_pedagogic Model Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare Pagina 1 din 1