Matematică 2018

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2018 Proba E. c) Matematică M_tehnologic Varianta 9 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte)  1  1  1 1 5p 1. Arătați că  2 −  3 −  4 −  ⋅ = 3 .  2  3  4 5 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 + 2 . Determinaţi numerele reale a pentru care f ( a ) + f ( a + 1) = 5 . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 52 x− 4 = 25 . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M = {10,15,20,25,30,35,40,45,50} , acesta să fie un număr divizibil cu 10 . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 6,1) şi B ( 2,5) . Calculaţi lungimea segmentului OM , unde M este mijlocul segmentului AB . 1 5p 6. Arătați că 2sin 45° ⋅ cos 45° − sin 2 45° − cos2 60° = . 4 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  5 1 a − 2 1  1. Se consideră matricele A =   și M ( a ) =   , unde a este număr real.  4 8  4 a + 1 5p a) Arătați că det A = 36 . 5p b) Determinați valorile reale ale lui a pentru care matricea M ( a ) este inversabilă. 5p c) Determinați numerele reale x și y pentru care M ( x ) ⋅ M ( y ) = A . 2. Se consideră polinomul f = X 3 + mX − 6 , unde m este număr real. 5p a) Arătați că f (1) = m − 5 , pentru orice număr real m . 5p b) Determinaţi numărul real m pentru care x12 + x22 + x32 = 4 , unde x1 , x2 și x3 sunt rădăcinile polinomului f . 5p c) Pentru m = −7 , determinați numerele reale p și q , pentru care f = ( X + 1) X + pX + q . 2 ( ) SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x − 3 x + 3 . 3 2 5p a) Arătați că f ' ( x ) = 3x ( x − 2 ) , x ∈ ℝ . 5p b) Determinaţi ecuația tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x = 1 , situat pe graficul funcției f . 5p c) Demonstrați că f ( x ) ≥ −1 , pentru orice x ∈ [ 0, +∞ ) . 3 x 2 − x, x ∈ ( −∞,1]  2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) =  1 .  2 + ⋅ ln x, x ∈ (1, +∞ )  x 1 5p a) Arătaţi că ∫ f ( x ) dx = 2 . −1 5p b) Arătați că funcția f admite primitive pe ℝ . 2 n 2 − 4 + ln 2 2 5p c) Determinaţi numărul natural n pentru care ∫ f ( x ) dx = . 0 2 Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 9 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale Pagina 1 din 1