Matematică 2018

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2018 Proba E. c) Matematică M_tehnologic Model Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Arătați că numărul n = 8 ( 2 + 1) − 2 2 este pătratul unui număr natural. 5p 2. Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 − x + 2 și g : ℝ → ℝ , g ( x ) = x + 1 . Determinați numărul real a pentru care f ( a ) = g ( a ) . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 x 2 − 6 x + 5 = x − 1 . 5p 4. Determinaţi câte numere naturale de trei cifre distincte au cifrele elemente ale mulțimii {1, 2, 3, 4, 5} . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 2,1) şi B ( 3,0 ) . Determinaţi ecuația dreptei d care trece prin mijlocul segmentului AO și este paralelă cu dreapta AB . 5p 6. Arătați că ( sin x + 7 cos x ) + ( 7sin x − cos x ) = 50 , pentru orice număr real x . 2 2 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 2  1. Se consideră matricea A ( m ) =   , unde m este număr real.  m m + 1 5p a) Arătați că det ( A ( 0 ) ) = 1 . 5p b) Demonstrați că A ( m ) + A ( −m ) = 2 A ( 0 ) , pentru orice număr real m . 5p c) Determinați matricea X ∈ M2 ( ℝ ) pentru care A ( 2 ) ⋅ X = A ( 5 ) . 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x  y = 3 xy + 3 x + 3 y + 2 . 5p a) Arătați că x  y = 3 ( x + 1)( y + 1) − 1 , pentru orice numere reale x și y .  2 5p b) Arătați că x   −  = x , pentru orice număr real x .  3 5p c) Determinați numerele naturale n pentru care n  ( n − 1) < 17 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) x2 + 6x 1. Se consideră funcţia f : ( 2, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = . x−2 ( x − 6 )( x + 2 ) , x ∈ 2, +∞ . 5p a) Arătaţi că f ' ( x ) = ( ) ( x − 2 )2 5p b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcţiei f . 5p c) Demonstrați că funcţia f nu are puncte de inflexiune. 1 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x . e +1 1 ( ) 5p a) Arătaţi că ∫ e + 1 f ( x ) dx = 1 . x 0 1 x 3 5p b) Arătați că ∫ dx = . 0 f ( x) 2 5p c) Determinaţi volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției g : [ 0,1] → ℝ , g ( x ) = e x f ( x ) . Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale Pagina 1 din 1