Matematică 2018

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2018 Proba E. c) Matematică M_tehnologic Clasa a XI-a Simulare Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 1 1 5p 1. Arătați că numărul n = − este natural. 3 −1 3 +1 5p 2. Determinați numărul real m pentru care punctul A (1, 2 ) aparține graficului funcției f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 − 2 x + 3m . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 2 x + log x 2 = 2 . 5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea M = {1, 2,3, 4} , acesta să verifice ( n + 2 )! inegalitatea ≤ 20 . n! 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A (1, a ) , B ( b,7 ) și C ( 2,5 ) , unde a și b sunt numere reale. Știind că punctul C este mijlocul segmentului AB , determinați numerele reale a și b . 5p 6. Calculaţi lungimea laturii AC a ∆ABC , știind că AB = 6 , m ( ∢B ) = 45° și m ( ∢C ) = 30° . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) x x x 1. Se consideră determinantul D ( x ) = 3 −1 x , unde x este număr real. 2 x −1 5p a) Arătați că D ( −2 ) = 16 . 5p b) Demonstrați că D ( x ) = x ( x + 1)( 6 − x ) , pentru orice număr real x . 5p c) Determinați numerele naturale a pentru care D ( a) = 0. 1 2 − m 2. Se consideră matricea M ( m ) =   , unde m este număr real. 0 1  5p a) Arătați că M (1) + M ( 3) = 2M ( 2 ) . 5p b) Demonstrați că M ( m ) ⋅ M ( n ) = M ( m + n − 2 ) , pentru orice numere reale m și n . 5p c) Determinați numărul real x , știind că M ( x ) ⋅ M ( x ) = M x − 1 . 2 ( ) SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) x − 4x + 3 2 1. Se consideră funcţia f : ( 2, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = . x−2 f ( x) 5p a) Arătați că lim = 2. x→ 3 x − 3 f (2x) 5p b) Calculaţi lim . x → +∞ f ( x) 5p c) Determinaţi ecuația asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcţiei f . 2 x − 3x + 4, x ∈ ( −∞,1) 2 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) =  .  3 x, x ∈ [1, +∞ ) 5p a) Demonstrați că funcția f este continuă în punctul x = 1 . Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru clasa a XI-a Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare f ( x) − 3 5p b) Calculați lim . x→ 3 x−3 5p c) Se consideră funcția g : ℝ → ℝ , g ( x ) = 1 + x3 − x 4 . Demonstrați că ecuația ( f + g )( x ) = 0 are cel puțin o soluție în intervalul ( 0,2 ) . Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru clasa a XI-a Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale Pagina 2 din 2