Matematică 2019

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2019 Proba E. c) Matematică M_tehnologic Varianta 6 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Arătați că 7 ( 7 + 1) − 7 = 7 . 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f ( x ) = x 2 − 6 x + 8 . Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției f cu axa Oy . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia log5 x 2 + 9 = 2 . ( ) 5p 4. După o ieftinire cu 40% , preţul unui obiect este 300 de lei. Calculați prețul obiectului înainte de ieftinire. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 3, 2 ) , B ( −3, 2 ) şi C ( 0,6 ) . Determinaţi, în triunghiul ABC , lungimea medianei din vârful C . 3 2 1 5p 6. Arătați că ⋅ sin 60° − ⋅ sin 45° = . 2 2 4 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  6 −10  1 0 1. Se consideră matricele A =   , I2 =   și M ( a ) = I 2 + aA , unde a este număr real.  3 −5  0 1 5p a) Arătați că det A = 0 . 5p b) Demonstrați că M ( a ) ⋅ M ( b ) = M ( a + b + ab ) , pentru orice numere reale a și b . 5p c) Determinați numărul real a pentru care M (1) + M ( 2 ) + … + M ( 2019 ) = 2019 M ( a ) . 2. Se consideră polinomul f = mX 3 + 2 X 2 − mX − 2 , unde m este număr real nenul. 5p a) Arătați că f (1) = 0 , pentru orice număr real nenul m . 5p b) Pentru m = 3 , determinaţi rădăcinile polinomului f . 1 1 1 5p c) Determinați numărul real nenul m pentru care + + = −4 , unde x1 , x2 și x3 sunt x1 x2 x3 rădăcinile polinomului f . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x3 − 3 x + 5 . 5p a) Arătați că f ' ( x ) = 3 ( x − 1)( x + 1) , x ∈ ℝ . 5p b) Demonstrați că funcția f este convexă pe [ 0, +∞ ) . 5p c) Demonstrați că f ( x ) ≤ 7 , pentru orice x ∈ ( −∞,1] . 2. Se consideră funcția f : R → ℝ , f ( x ) = 3 x 2 + 6 x + 7 . 1 5p a) Arătați că ∫ f ( x ) dx = 11 . 2 0 1 x +1 5p b) Calculați ∫ dx . −1 f ( x ) 5p c) Demonstrați că, pentru orice a ∈ ( 0, +∞ ) , suprafața plană delimitată de graficul funcției f , axa Ox și dreptele de ecuații x = 0 și x = a are aria mai mare sau egală cu a 7 . Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 6 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale Pagina 1 din 1