Matematică 2019

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2019 Proba E. c) Matematică M_tehnologic Model Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. (30 de puncte) 5p 1. Arătați că numărul N = ( 4 + 3i ) + ( 3 − 4i ) este natural, unde i = −1 . 2 2 2 5p 2. Determinaţi numerele reale a , știind că punctul A ( a, a ) aparține graficului funcției f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 2 − x2 . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 5 x + 5 x+1 = 30 . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M = { 1, 2, 3,…, 49} , acesta să fie număr natural. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 2,5 ) , B ( 3,5 ) și C ( 2,1) . Determinați lungimea medianei din B a triunghiului ABC . 5p 6. Demonstrați că ( sin x + cos x )2 + ( sin x − cos x )2 = 2 , pentru orice număr real x . SUBIECTUL al II-lea – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. (30 de puncte) x −y 1. Se consideră matricea A ( x, y ) =   , unde x și y sunt numere reale. y x  5p a) Arătați că det ( A (1,1) ) = 2 . 5p b) Determinați numărul natural n pentru care A ( n − 1,0 ) + A ( n + 1,0 ) = A ( 2018,0 ) . 5p c) Determinați numărul real a , știind că există un număr real x pentru care A ( x,1) ⋅ A ( x,1) = A(a, −2) . 2. Se consideră polinomul f = X 3 − 7 X 2 + mX − 8 , unde m este număr real. 5p a) Arătați că f ( −1) + f (1) = −30 , pentru orice număr real m . 5p b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului f la X 2 − 3 X + 1 , știind că f se divide cu X −2. 5p c) Determinați numărul real m pentru care polinomul f are trei rădăcini reale pozitive, în progresie geometrică. SUBIECTUL al III-lea – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. (30 de puncte) x2 + 2x + 1 1. Se consideră funcţia f : ( −2, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = . x+2 ( x + 1)( x + 3) , x ∈ −2, +∞ . 5p a) Arătați că f ' ( x ) = ( ) ( x + 2 )2 5p b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcției f . 5p c) Demonstrați că funcția f este convexă pe ( −2, +∞ ) . 1 2. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = x 2 + . x 5p a) Determinați primitiva F a funcției f pentru care F (1) = 0 . 5p b) Arătați că volumul corpului obţinut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcţiei 97π g : [1, 2] → ℝ , g ( x ) = f ( x ) este egal cu . 10 m ( 5p c) Determinaţi numărul m ∈ (1, +∞ ) , știind că ∫ f ( x ) − x ln x dx = 2 ) 1 2 . 1 Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale Pagina 1 din 1