Matematică 2019

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2019 Proba E. c) Matematică M_tehnologic Varianta 8 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte)  1 1  1 5p 1. Arătați că 1 − +  : 1 −  = 1 .  3 4   12  5p 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 + 4 . Arătaţi că f ( −2 ) + f ( 2 ) = 4 f ( 0 ) . ( 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia log8 x − 27 = log8 ( x − 3) . 2 ) 2 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M = {10,11,12,13,14,15,16,17,18,19} , acesta să fie număr par. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 4,3) şi B ( 8,3) . Determinaţi coordonatele punctului C , știind că punctul B este mijlocul segmentului AC . 5p 6. Arătați că cos 2 30° + sin 2 60° − 2cos30° ⋅ sin 60° = 0 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 2 1 1 0 a 1 1. Se consideră matricele M =   , I2 =   și A ( a ) =   unde a este număr real. 1 2 0 1  3 2 5p a) Arătați că det M = 3 . 5p b) Determinați numărul real a pentru care A ( a ) ⋅ A ( a ) = 4 A ( a ) − I 2 . 5p c) Determinați numărul real a pentru care det ( aA ( a ) + M ) = 0 . 2. Se consideră polinomul f = X 3 − 4 X 2 + mX + 2 , unde m este număr real. 5p a) Arătați că f ( 2 ) = 2m − 6 , pentru orice număr real m . 5p b) Demonstrați că, pentru orice număr real m , numărul E = x12 x2 x3 + x1 x22 x3 + x1 x2 x32 este întreg, unde x1 , x2 și x3 sunt rădăcinile polinomului f . 5p c) Pentru m = 3 , determinați rădăcinile polinomului f . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 7 x3 − 5 x 2 + x + 1 . 5p a) Arătați că f ' ( x ) = ( 3 x − 1)( 7 x − 1) , x ∈ ℝ . x f '( x ) 5p b) Calculați lim . x →+∞ f ( x ) 52  1 5p c) Demonstrați că f ( x ) ≤ , pentru orice x ∈  −∞,  . 49  3  x 2 + 8 x − 2, x ∈ ( −∞,0] 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) =  .  x − 2, x ∈ ( 0, +∞ ) 2 1 5p a) Arătaţi că ∫ f ( x ) dx = − . 1 2 5p b) Demonstrați că funcția f admite primitive pe ℝ . 5p c) Demonstrați că suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaţii 17 x = −1 şi x = 0 are aria egală cu . 3 Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 8 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale Pagina 1 din 1