Matematică 2020

Ministerul Educaţiei și Cercetării Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație Examenul de bacalaureat naţional 2020 Proba E. c) Matematică M_pedagogic Varianta 1 Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinați rația progresiei geometrice ( bn )n≥1 , știind că b1 = 2 și b4 = −2 . 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 − 6 x + 3 . Arătați că f ( 0 ) = f ( 6 ) . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia log3 ( x − 2 ) = 1 . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A = {1,2,3,7,8,9} , acesta să fie mai mic sau egal cu media aritmetică a elementelor mulțimii A . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră dreptele d1 și d 2 de ecuații y = 3x − 1 , respectiv y = ax + 5 , unde a este număr real. Determinați numărul real a , știind că dreptele d1 și d 2 sunt perpendiculare. 5p 6. Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A și punctul D ∈ AC , piciorul bisectoarei unghiului B . Știind că BD = CD , arătați că m ( ∢ACB ) = 30° . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie x ∗ y = x + ay + 5 , unde a este număr real. 5p 1. Arătați că, pentru orice număr real a , 4 ∗ 0 = 9 . 5p 2. Demonstrați că, pentru a = 1 , legea de compoziţie „ ∗ ” este asociativă. 5p 3. Determinaţi numărul real a pentru care legea de compoziţie „ ∗ ” este comutativă. 5p 4. Arătați că, dacă legea de compoziţie „ ∗ ” are element neutru, atunci a = 1 . ( 5p 5. Pentru a = 1 , determinați numerele reale x pentru care x ∗ x ∗ x ∗ x = 15 . 2 2 )( ) 5p 6. Pentru a = −3 , determinați numerele reale x pentru care 4 x ∗ 2 x = 3 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)  5 4 1 0 0 0 Se consideră matricele A =   , I2 =   și O2 =  .  4 5 0 1 0 0 5p 1. Arătați că det A = 9 . 5p 2. Arătaţi că ( A − I 2 )( A − 9 I 2 ) = O2 . 5p 3. Se consideră matricea B = A − 5I 2 . Demonstrați că suma elementelor matricei B ⋅ B este divizibilă cu 25 5p 4. Determinaţi numerele reale a pentru care det ( aA + I 2 ) = 0 .  x 1 5p 5. Determinați numerele reale x și y pentru care A ⋅ M = M ⋅ A , unde M =  .  y 2 5p 6. Demonstrați că det ( A + xI 2 ) + det ( A − xI 2 ) ≥ 18 , pentru orice număr real x . Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 1 Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare Pagina 1 din 1