Matematică 2021

Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație Examenul naţional de bacalaureat 2021 Proba E. c) Matematică M_pedagogic Simulare Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice ( an ) , știind că a1 = 1 și a4 = 5 . n ≥1 2 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , ( ) f x = ax + a − 2 , unde a este număr real. Determinați numărul real a pentru care f (1) + f ( −2 ) = 0 . 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 1 + log6 ( 2 x + 6 ) = 3 . 5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să poată fi scris sub forma n3 , unde n este număr natural. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 0,2 ) , B ( 0,6 ) , C ( 4,2 ) și punctul D , mijlocul segmentului BC . Determinați ecuația dreptei AD . 5p 6. Calculați 2 sin 30° cos 60° − cos120° . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă x ∗ y = ( x − 1)( y − 1) + 1 . 2 5p 1. Arătați că 2 ∗ ( −5 ) = −2 . 5p 2. Verificați dacă e = 3 este elementul neutru al legii de compoziție „ ∗ ”. 5p 3. Determinați numărul real a pentru care a ∗ 5 = 3 . 5p 4. Determinați valorile reale ale lui x pentru care x ∗ (1 − x ) ≥ −5 . 5p 5. Arătați că există o infinitate de numere naturale n pentru care numărul N = ( n + 1) ∗ ( n + 1) este natural par. 5p 6. Determinați tripletele ( m, n, p ) de numere naturale, cu m < n < p , pentru care m ∗ n ∗ p = 8 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)  1 3 1 0 Se consideră matricele A =   , I2 =   și B ( n ) =  A ⋅ A ⋅… ⋅ A , unde n este număr natural  −1 1  0 1 de n ori A nenul. 5p 1. Arătați că det A = 4 . 5p 2. Arătați că det ( A + xI 2 ) ≥ 3 , pentru orice număr real x . 5p 3. Arătați că există un număr real a , astfel încât B ( 3) = aI 2 . 5p 4. Determinați numerele reale m pentru care det ( 2mA + I 2 ) + 2m det ( A − I 2 ) = 0 . x y 5p 5. Se consideră matricea M =  ∈ M2 ( ℝ ) , astfel încât A⋅ M = M ⋅ A. Arătați că z t x + y + 3z − t = 0 . 5p 6. Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul n , matricea B ( 6n ) are toate elementele numere naturale. Probă scrisă la matematică M_pedagogic Simulare Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare Pagina 1 din 1