Matematică 2021

Ministerul Educaţiei și Cercetării Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație Examenul naţional de bacalaureat 2021 Proba E. c) Matematică M_tehnologic Model Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale  Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.  Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte)  1  1 5p 1. Arătați că  0, 25 10   0, 25 10    6 .  2  2 5p 2. Se consideră funcţia f :  , f  x   x2  ax  1 , unde a este număr real. Determinaţi numărul real a , ştiind că punctul A  2,1 aparţine graficului funcţiei f . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3x2  3x  30 . 5p 4. Un obiect costă 500 de lei. Determinaţi prețul obiectului după o scumpire cu 20% . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A  0,3 şi B  8,3 . Punctul M este mijlocul segmentului AB . Calculați distanța de la punctul M la punctul O  0,0  . 5p 6. Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A , cu AB  5 şi AC  10 . Calculaţi aria triunghiului ABC . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 3   1 0 1. Se consideră matricele A    și I 2   . 1 2   0 1 5p a) Arătați că det A  1 . 5p b) Arătați că A  A  3 A  I 2 .  1 x 5p c) Se consideră matricea X    , unde x şi y sunt numere reale. Determinaţi numerele reale  y 1  2 1  x şi y pentru care A  X  X  A   .  1 2  2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x y  4 xy  x  y . 5p a) Arătaţi că 3 2  29 .  4 x  1 4 y  1  1 , pentru orice numere reale x și y . 5p b) Demonstrați că x y  4 5p c) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui x pentru care x x  2 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) x 1. Se consideră funcţia f :  , f  x  ex  . x 1 2 1  x2 5p a) Arătaţi că f '  x   e  , x x .   2 x2  1 5p b) Determinaţi ecuaţia asimptotei orizontale spre  la graficul funcţiei f . 2e 2e  1 5p c) Demonstrați că  f  x  , pentru orice x   1,1 . 2e 2 Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei și Cercetării Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație 2. Se consideră funcția f : 0,    , f  x    x  1 x . 2 f  x 5 5p a) Arătați că  dx  . 1 x 2 5p b) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcţiei 17 g : 0,1  , g  x   f  x  , este egal cu . 12 e f  x  x ln x e2  a 5p c) Determinați numărul real a , știind că  dx  . 1 x 1 4 Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale Pagina 2 din 2