Matematică 2022

Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație Examenul național de bacalaureat 2022 Proba E. c) Matematică M_pedagogic Model Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Arătați că ( ) 3 2 − 3 + 3 = 12 . 5p 2. Se consideră funcțiile f : → , f ( x ) = x + 1 și g : → , g ( x ) = 2 x − 1 . Determinați numerele naturale a pentru care f ( a )  g ( a ) . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3x + 2  2 x +1 + 2  6 x = 120 . 5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale nenule mai mici decât 114 , acesta să fie divizibil cu 4 . 5p 5. Determinați numărul real a , știind că punctul M (a,15) aparține dreptei d de ecuație y = 3x + 2a . 5p 6. Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A , cu AB = 3 , AC = 4 și înălțimea AD , unde 3 punctul D aparține laturii BC . Arătați că sin BAD = . 5 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă x y = 2 xy − x − y + 1 . 5p 1. Arătați că ( −1) ( −1) = 5 .  1  1 1 5p 2. Demonstrați că x y = 2  x −  y −  + , pentru orice numere reale x și y .  2  2 2 5p 3. Arătați că e = 1 este elementul neutru al legii de compoziție „ ” . 1 1 1 5p 4. Arătați că x = x = , pentru orice număr real x . 2 2 2 1 2 3 2020 5p 5. Calculați ... . 3 4 5 2022  1  1 1 5p 6. Determinați numărul real strict pozitiv x , pentru care  log 2 x +   log3 x +  = .  2  2 2 SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1 0  0 2 a 2 Se consideră matricele I 2 =  , A =   și M ( a ) =   , unde a este număr real. 0 1  2 0 2 a 5p 1. Arătați că A  A = 4 I 2 . 5p 2. Arătaţi că aI 2 + A = M (a) , pentru orice număr real a . 5p 3. Arătați că M (2)  M (4) = 6M (2) . 5p 4. Determinaţi perechile ( a, b ) de numere naturale pentru care M (a)  M (b) = 7  I 2 + 4  A . 5p 5. Determinați numărul natural k pentru care det( M (k + 2))  0 . 5p 6. Determinați numărul real a , a  −2 , știind că inversa matricei M (a) este matricea M (a) − 2  A . Probă scrisă la matematică M_pedagogic Model Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare Pagina 1 din 1