Matematică 2022

Ministerul Educației Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație Examenul național de bacalaureat 2022 Proba E. c) Matematică M_tehnologic Model Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Arătați că ( 8 + 1) ⋅ ( 2 2 − 1) − 36 = 1. 5p 2. Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 5 x − 1 și g : ℝ → ℝ , g ( x ) = 5 + 2 x . Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f și g . 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x 2 + 6 x = x . 5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} , numărul 4 ⋅ n să fie element al mulțimii A . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 2,1) , B ( 3, 4 ) și C , astfel încât punctul A este mijlocul segmentului BC . Arătați că triunghiul AOC este dreptunghic isoscel. 5p 6. Se consideră triunghiul ascuțitunghic ABC în care sin 30° ⋅ sin A = cos 60° ⋅ cos A . Calculați tg A . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  3 −6  1 0  0 a − 2 1. Se consideră matricele A =   , I2 =   și B ( a ) =   , unde a este număr real.  2 −3  0 1  1 3a  5p a) Arătați că det A = 3 . 5p b) Determinați numărul real x pentru care A ⋅ A + A = 2 B ( x ) . 5p c) Determinați numărul real a pentru care det ( B ( a ) ⋅ A + B ( 3a ) ) = 4 . 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = ( xy + 1)( x + y ) . 5p a) Arătați că 1 ∗ 2 = 9 . 5p b) Arătați că e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „ ∗ ”. 1 5p c) Determinați numerele naturale nenule n pentru care numărul N = n ∗ este întreg. n SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) x2 1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = ( x − 1) e x − . 2 ( ) 5p a) Arătați că f ' ( x ) = x e − 1 , x ∈ ℝ . x f ( x ) − f (0) 5p b) Arătați că lim = 0. x →0 x2 ( ) 5p c) Arătați că f ( x ) ≤ f x , pentru orice x ∈ ( −∞,0] . 2 4x 2. Se consideră funcția f : ( − 4, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = . x+4 2 5p a) Arătați că ∫ ( x + 4 ) f ( x ) dx = 6 . 1 4 1 ( ) 5p b) Arătați că ∫ ⋅ f x dx = 4ln 2 . x 2 1 5p c) Demonstrați că orice primitivă a funcției f este convexă. Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale Pagina 1 din 1