Matematică 2023

Ministerul Educației Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație Examenul național de bacalaureat 2023 Proba E. c) Matematică M_tehnologic Varianta 5 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte)  4 1 5p 1. Arătați că 4 ⋅ 1 −  + = 1 .  5 5 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 3x + 2 . Arătați că f ( 0) ⋅ f (1) = 10 . 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 32 x −3 = 3x . 5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea A = { 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} , acesta să verifice inegalitatea n 2 ≤ 23 . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 0,3) și B ( 4,0 ) . Arătați că perimetrul triunghiului OAB este egal cu 12 . 5p 6. Arătați că (1 + 2cos60°) ⋅ sin 30° = 1 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 0  x 0  1. Se consideră matricele A =   și B ( x ) =   , unde x este număr real.  1 3   −1 x − 2 5p a) Arătați că det A = 3 . 5p b) Arătați că B ( 8 ) − 3B ( 2 ) = 2 A . 5p c) Determinați numărul real x pentru care A ⋅ B ( x ) = B ( x ) . 2. Se consideră polinomul f = X 3 − 2 X 2 − 2 X + m , unde m este număr real. 5p a) Pentru m = 3 , arătați că f (1) = 0 . 5p b) Determinați numărul real m pentru care x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 + x1 x2 x3 = 1 , unde x1 , x2 și x3 sunt rădăcinile polinomului f . 5p c) Determinați numărul real m pentru care polinomul f este divizibil cu polinomul X + 2 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 3x 1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 2 . x +1 5p a) Arătați că f ' ( x ) = ( 3 1 − x2 ) , x∈ℝ . ( x2 + 1) 2 5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f . 5p c) Determinați intervalele de monotonie a funcției f . 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 2 x 2 + 1 . 1 2 5p a) Arătați că  ( f ( x ) − 1) dx = . 0 3 2 4x 5p b) Arătați că  dx = 2ln 3 . 0 f ( x ) e 1 4 5p c) Determinați numărul natural n , știind că  f   ⋅ ln xdx = f ( n ) − . 1   x e 1 Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 5 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale Pagina 1 din 1